English
Let x in M and f in Dual_R M satisfy f(x) = 2. Then the endomorphism T of M defined by T(y) = y − f(y) x is an involution (T^2 = id_M). In particular, T fixes ker f and sends x to −x.
Русский
Пусть x ∈ M и f ∈ Dual_R M удовлетворяют f(x) = 2. Тогда оконьеобразное отображение T: M → M, заданное T(y) = y − f(y) x, является инволюцией (T^2 = id_M). В частности, T фиксирует ker f и отправляет x в −x.
LaTeX
$$$\\text{Let }R\\text{ be a commutative ring }M\\text{ an }R\\text{–module},\\ x\\in M,\\ f\\in M^*\\text{ with }f(x)=2.\\\\\n\\text{Define }T:M\\to M,\\ T(y)=y-f(y)\\,x.\\n\\text{Then }T^2=\\mathrm{Id}_M. $$$
Lean4
theorem involutive_preReflection (h : f x = 2) : Involutive (preReflection x f) := fun y ↦ by
simp [map_sub, h, two_smul, preReflection_apply]
