mem_span_of_mem_allRoots — Mathlib

English

For each root r, the pairing with itself modulo the invariant form equals its squared length; in particular, pairings satisfy standard root system relations (e.g., long-root length relates to short-root length).

Русский

Для каждого корня r нормирование по собственной форме даёт квадрат длины; пары корней удовлетворяют стандартным соотношениям корневой системы.

LaTeX

$$$B(r,r) = \|r\|^2$ и др.$$

Lean4

theorem mem_span_of_mem_allRoots {x : M} (hx : x ∈ allRoots P) : x ∈ span ℤ {longRoot P, shortRoot P} :=
  by
  have : {longRoot P, shortRoot P} = range ![shortRoot P, longRoot P] := by simp
  simp_rw [this, Submodule.mem_span_range_iff_exists_fun, ← Fintype.linearCombination_apply]
  simp [allRoots_eq_map_allCoeffs] at hx
  tauto

Похожие утверждения