English
A linear endomorphism f is semisimple iff every invariant submodule p has an invariant complement q with p ⊔ q = M (in the invtSubmodule lattice).
Русский
Линейный эндоморфизм f семисимплесс тогда и только тогда, когда каждый инвариантный подмодуль p имеет инвариантное дополнение q such that p ⊔ q = M в решётке invtSubmodule.
LaTeX
$$$$ \\; f.IsSemisimple \\iff \\forall p \\in invtSubmodule f, \\exists q \\in invtSubmodule f, IsCompl p q. $$$$
Lean4
/-- A linear endomorphism is semisimple if every invariant submodule has in invariant complement.
See also `Module.End.isSemisimple_iff`. -/
theorem isSemisimple_iff' : f.IsSemisimple ↔ ∀ p : invtSubmodule f, ∃ q : invtSubmodule f, IsCompl p q :=
by
rw [IsSemisimple, isSemisimpleModule_iff, (AEval.mapSubmodule R M f).symm.complementedLattice_iff,
complementedLattice_iff]
rfl
