English
Let B be a symmetric bilinear form on a module M over a commutative ring R, with B(x,x) ≥ 0 for all x. Then B is nondegenerate if and only if every nonzero x satisfies B(x,x) > 0.
Русский
Пусть B — симметричная билинейная форма на модуле M над коммутативной кольцевой структурой R и B(x,x) ≥ 0 для всех x. Тогда B ненулеподобна (необразна) тогда и только тогда, когда для каждого ненулевого x выполняется B(x,x) > 0.
LaTeX
$$$\big( \forall x,\ 0 \le B(x,x) \big) \land B \text{ симметрична} \ \Rightarrow \big( B \text{ необразна} \iff \forall x, x \neq 0 \to 0 < B(x,x) \big) $$$
Lean4
/-- A convenience variant of `LinearMap.BilinForm.nondegenerate_iff` characterising nondegeneracy as
positive definiteness. -/
theorem nondegenerate_iff' (hs : ∀ x, 0 ≤ B x x) (hB : B.IsSymm) : B.Nondegenerate ↔ ∀ x, x ≠ 0 → 0 < B x x :=
by
rw [B.nondegenerate_iff hs hB, ← not_iff_not]
push_neg
exact exists_congr fun x ↦ ⟨by aesop, fun ⟨h₀, h⟩ ↦ Or.inl ⟨le_antisymm h (hs x), h₀⟩⟩
