span_singleton_sup_ker_eq_top — Mathlib

English

If two linear maps agree on a span, they agree on the entire space.

Русский

Если два линейных отображения совпадают на спане множества, они совпадают на всём пространстве.

LaTeX

$$eqOn_span_iff$$

Lean4

theorem span_singleton_sup_ker_eq_top (f : V →ₗ[K] K) {x : V} (hx : f x ≠ 0) : (K ∙ x) ⊔ ker f = ⊤ :=
  top_unique fun y _ =>
    Submodule.mem_sup.2
      ⟨(f y * (f x)⁻¹) • x, Submodule.mem_span_singleton.2 ⟨f y * (f x)⁻¹, rfl⟩,
        ⟨y - (f y * (f x)⁻¹) • x, by simp [hx]⟩⟩

Похожие утверждения