English
Let x be a nonzero element of a module M over a ring R, with NoZeroSMulDivisors ensuring torsion-free behavior. Then the span of x, denoted R·x, is naturally isomorphic to R via the map t ↦ t·x; in particular span{ x } is a free rank‑1 module generated by x.
Русский
Пусть x — ненулевой элемент модуля M над кольцом R, такой что дискриминация нулевых делителей отсутствует. Тогда порождающее множество R·x из x естественно изоморфно R по отображению t ↦ t·x; следовательно span{ x } является свободным модулем ранга 1, порожденным x.
LaTeX
$$$ (R \cdot x) \cong_R R \quad \text{via} \quad t \mapsto t x. $$$
Lean4
@[simp]
theorem toSpanNonzeroSingleton_apply (t : R) :
toSpanNonzeroSingleton R M x h t =
(⟨t • x, Submodule.smul_mem _ _ (Submodule.mem_span_singleton_self x)⟩ : R ∙ x) :=
by rfl
