English
Let R be a semiring, M an R-module, S a subset of M and y ∈ M. An element x lies in the span of S together with y, i.e. in span_R({y} ∪ S), if and only if x can be written as x = a y + z for some scalar a ∈ R and some z ∈ span_R(S).
Русский
Пусть R — полупрямое полукольцо, M — правомерная над M-модулем пространство над R, S ⊆ M и y ∈ M. Тогда элемент x принадлежит линейной оболочке S вместе с y, то есть x ∈ span_R({y} ∪ S), тогда и только тогда существует скаляр a ∈ R и элемент z ∈ span_R(S) такой, что x = a y + z.
LaTeX
$$$ x \in \operatorname{span}_R\left(\{y\} \cup S\right) \;\Longleftrightarrow\; \exists a \in R, \ exists z \in \operatorname{span}_R(S),\ x = a \cdot y + z $$$
Lean4
theorem mem_span_insert {y} : x ∈ span R (insert y s) ↔ ∃ a : R, ∃ z ∈ span R s, x = a • y + z := by
simp [span_insert, mem_sup, mem_span_singleton, eq_comm (a := x)]
