English
Let R be a commutative semiring, ι a index set, M an R-module, and s: ι → M. The canonical map mk sends a family (s_i) to an element of the symmetric power; the statement says the image of mk is the whole symmetric power, i.e., mk is surjective onto its target: the range equals the top submodule.
Русский
Пусть R – коммутативная полуспецифицируемая полугруппа, ι индексный множество, M – модуль над R, и s: ι → M. Каноническое отображение mk отправляет семейство (s_i) в элемент симметрической степени; утверждается, что образ mk заполнит всю целевую подмоду, то есть mk сюръективно отображает в весь объект.
LaTeX
$$$\\operatorname{Im}(\\mathrm{mk}_{R,\\,\\iota,\\,M}) = \\top$$$
Lean4
theorem range_mk : LinearMap.range (mk R ι M) = ⊤ :=
LinearMap.range_eq_top_of_surjective _ AddCon.mk'_surjective
