English
The trace of the dual endomorphism on the dual module equals the trace on the original module, i.e., the trace is invariant under taking duals and transpose.
Русский
След двойственного отображения на двойственном модуле равен исходит обычному модулю, след сохраняется под переходом к двойственному и транспонированию.
LaTeX
$$$ \operatorname{trace}_R(\mathrm{Module.Dual}\;R\;M) \circ \mathrm{Module.Dual.transpose} = \operatorname{trace}_R M. $$$
Lean4
@[simp]
theorem trace_transpose : trace R (Module.Dual R M) ∘ₗ Module.Dual.transpose = trace R M :=
by
let e := dualTensorHomEquiv R M M
have h : Function.Surjective e.toLinearMap := e.surjective
refine (cancel_right h).1 ?_
ext f m; simp [e]
