English
Let a1 and a2 be objects with an equivalence a1 ≍ a2. Suppose β1,β2 are families of types indexed by a1 and a2, and f1,f2 are dependent functions with compatible values. If ht encodes that β1 t1 and β2 t2 agree whenever t1 ≍ t2, and hf expresses a correspondence between f1 and f2 under α1 = α2, then f1 a1 is related to f2 a2 by the same heterogeneous equivalence.
Русский
Пусть есть эквивалентность a1 ≍ a2 между двумя объектами. Пусть также β1,β2 — семейства типов, индексируемые a1 и a2, и f1,f2 — зависимые функции. При соблюдении совместимости ht и hf между этими структурами, значение f1 a1 эквивалентно f2 a2.
LaTeX
$$$ \\text{HEq } a_1 a_2 \\Rightarrow (\\forall t_1 t_2, t_1 ≍ t_2 \\rightarrow \\beta_1 t_1 = \\beta_2 t_2) \\rightarrow (\\alpha_1 = \\alpha_2 \\rightarrow \\beta_1 ≍ \\beta_2 \\rightarrow f_1 ≍ f_2) \\rightarrow f_1 a_1 \\;≍\\; f_2 a_2.$$$
Lean4
theorem eq_zero_of_forall_index_sum_mul_pow_eq_zero [IsDomain R] {f v : Fin n → R} (hf : Function.Injective f)
(hfv : ∀ j, (∑ i, v i * f j ^ (i : ℕ)) = 0) : v = 0 :=
by
apply eq_zero_of_forall_index_sum_pow_mul_eq_zero hf
simp_rw [mul_comm]
exact hfv
