condExp_bot_ae_eq — Mathlib

English

For any f, condExp on bottom equals the almost-everywhere canonical representation with the integral at univ scaled by μ(real univ).

Русский

Для любой f condExp на нижнем пределе равно почти всюду каноническому представлению, нормированному на полный интеграл.

LaTeX

$$$$\\mu[f|⊥] =_{\\text{ae}} (\\mu(\\mathbb{R} \\text{ на } \\text{univ}) )^{-1} \\int f \\, d\\mu.$$$$

Lean4

theorem condExp_bot_ae_eq (f : α → E) : μ[f|⊥] =ᵐ[μ] fun _ => (μ.real Set.univ)⁻¹ • ∫ x, f x ∂μ :=
  by
  rcases eq_zero_or_neZero μ with rfl | hμ
  · rw [ae_zero]; exact eventually_bot
  · exact Eventually.of_forall <| congr_fun (condExp_bot' f)

Похожие утверждения