condExp — Mathlib

English

For MemLp f 2 μ with IsFinite μ, the L2 conditional expectation equals the conditional expectation a.e.

Русский

Для MemLp f 2 μ при конечной μ, L2-условное ожидание эквивалентно условному ожиданию указанному.

LaTeX

$$$condExpL2 E 𝕜 hm hf.toLp =^{\mathrm{ae}}_{\mu} μ[f|m]$$$

Lean4

protected theorem condExp (hf : MemLp f 2 μ) : MemLp (μ[f|m]) 2 μ :=
  by
  by_cases hm : m ≤ m₀
  · exact ⟨(stronglyMeasurable_condExp.mono hm).aestronglyMeasurable, eLpNorm_condExp_le.trans_lt hf.eLpNorm_lt_top⟩
  · simp [condExp_of_not_le hm]

Похожие утверждения