condExp_mono — Mathlib

English

The conditional expectation Induction for L1 is additive: condExpIndL1Fin of x+y equals sum of condExpIndL1Fin of x and y.

Русский

Условное ожидание IndL1Fin от суммы равно сумме условных ожиданий от каждого summand-а.

LaTeX

$$$condExpIndL1Fin hm hs hμs (x+y) = condExpIndL1Fin hm hs hμs x + condExpIndL1Fin hm hs hμs y$$$

Lean4

theorem condExp_mono (hf : Integrable f μ) (hg : Integrable g μ) (hfg : f ≤ᵐ[μ] g) : μ[f|m] ≤ᵐ[μ] μ[g|m] :=
  by
  by_cases hm : m ≤ m₀
  swap; · simp_rw [condExp_of_not_le hm]; rfl
  by_cases hμm : SigmaFinite (μ.trim hm)
  swap; · simp_rw [condExp_of_not_sigmaFinite hm hμm]; rfl
  exact
    (condExp_ae_eq_condExpL1 hm _).trans_le ((condExpL1_mono hf hg hfg).trans_eq (condExp_ae_eq_condExpL1 hm _).symm)

Похожие утверждения