compMeasurePreservingLp — Mathlib

English

The map sending a continuous function f to its Lp representation is continuous in the appropriate topology.

Русский

Отображение, отправляющее непрерывную функцию в её представление в Lp, непрерывно в соответствующей топологии.

LaTeX

$$$\\text{The map } C(X,E) \\to Lp(E,p,μ),\\ f \\mapsto [f]_{Lp} \\text{ is continuous.}$$$

Lean4

theorem compMeasurePreservingLp (hf : Continuous f) (hg : Continuous g) (hgm : ∀ z, MeasurePreserving (g z) μ ν)
    (hp : p ≠ ∞) : Continuous (fun z ↦ Lp.compMeasurePreserving (g z) (hgm z) (f z)) :=
  continuous_iff_continuousAt.mpr fun _ ↦ hf.continuousAt.compMeasurePreservingLp hg.continuousAt hgm hp

Похожие утверждения