exists_setAverage_le — Mathlib

English

Let f: α → ℝ≥0∞ be AEMeasurable on μ.restrict s and f ≠ ∞ a.e. Then (⨍⁻ x in s, f x ∂μ).toReal = ⨍ x in s, (f x).toReal ∂μ.

Русский

Пусть f: α → ℝ≥0∞ является AEMeasurable на μ.restrict s и не бесконечна почти всюду. Тогда (⨍⁻ x in s, f x ∂μ).toReal = ⨍ x in s, (f x).toReal ∂μ.

LaTeX

$$$$ (⨍^- x in s, f x ∂μ).toReal = ⨍ x in s, (f x).toReal ∂μ $$$$

Lean4

/-- **First moment method**. The maximum of an integrable function is greater than its mean. -/
theorem exists_setAverage_le (hμ : μ s ≠ 0) (hμ₁ : μ s ≠ ∞) (hf : IntegrableOn f s μ) :
    ∃ x ∈ s, ⨍ a in s, f a ∂μ ≤ f x :=
  let ⟨x, hx, h⟩ := nonempty_of_measure_ne_zero (measure_setAverage_le_pos hμ hμ₁ hf).ne'
  ⟨x, hx, h⟩

Похожие утверждения