English
If the averages of a vector-valued function f along a directed family of sets a_i converge to c in norm, and other boundedness/integrability hypotheses hold, then the integrals of g_i · f converge to c in the ambient space.
Русский
Если средние значения функции с уunts a_i сходятся в норме к элементу c и выполняются прочие ограничения на интегрируемость и границы, то интегралы g_i · f сходятся к c в соответствующем пространстве.
LaTeX
$$$\\text{Tendsto}\\Bigl(i \\mapsto \\int y\\, g_i(y)\\, f(y) \\, d\\mu \\Bigr)\\ l\\to\\mathcal{N}(c)$$$
Lean4
/-- **First moment method**. The minimum of a measurable function is smaller than its integral,
while avoiding a null set. -/
theorem exists_notMem_null_le_lintegral (hf : AEMeasurable f μ) (hN : μ N = 0) : ∃ x, x ∉ N ∧ f x ≤ ∫⁻ a, f a ∂μ := by
simpa only [laverage_eq_lintegral] using exists_notMem_null_le_laverage (IsProbabilityMeasure.ne_zero μ) hf hN
