integral_monotoneOn_of_integrand_ae

English

Under suitable conditions, the integral is monotone with respect to a dominating measure when the integrand is nonnegative a.e.

Русский

При подходящих условиях интеграл монотонно возрастает по мере доминирующего меры для неотрицательных почти везде функций.

LaTeX

$$$f,g:\\alpha\\to E$ integrable, f ≤ g a.e. ⇒ ∫ f ≤ ∫ g$.$$

Lean4

theorem integral_monotoneOn_of_integrand_ae {β : Type*} [Preorder β] {f : α → β → E} {s : Set β}
    (hf_mono : ∀ᵐ x ∂μ, MonotoneOn (f x) s) (hf_int : ∀ a ∈ s, Integrable (f · a) μ) :
    MonotoneOn (fun b => ∫ x, f x b ∂μ) s := by
  intro a ha b hb hab
  refine integral_mono_ae (hf_int a ha) (hf_int b hb) ?_
  filter_upwards [hf_mono] with x hx
  exact hx ha hb hab

Похожие утверждения