integral_comp_comm' — Mathlib

English

If L is an antilipschitz linear map, then ∫ L(φ(x)) dμ = L(∫ φ(x) dμ).

Русский

Пусть L — антиплессисс-линейное отображение. Тогда интеграл по L и интеграл по φ можно поменять местами: ∫ L(φ(x)) dμ = L(∫ φ(x) dμ).

LaTeX

$$$\\int x, L(φ(x))\, dμ = L\\left(\\int x, φ(x) \\, dμ\\right)$$$

Lean4

theorem integral_comp_comm' (L : E →L[𝕜] Fₗ) {K} (hL : AntilipschitzWith K L) (φ : X → E) :
    ∫ x, L (φ x) ∂μ = L (∫ x, φ x ∂μ) := by
  by_cases h : Integrable φ μ
  · exact integral_comp_comm L h
  have : ¬Integrable (fun x => L (φ x)) μ := by
    rwa [← Function.comp_def, LipschitzWith.integrable_comp_iff_of_antilipschitz L.lipschitz hL L.map_zero]
  simp [integral_undef, h, this]

Похожие утверждения