integral_integral_indicator — Mathlib

English

Tonelli/Fubini-type identity: integrating indicator of a set for a function of two variables equals the iterated integral over the restricted domain.

Русский

Типа теоремы Фubини: интегрирование индикатора по множеству для функции двух переменных равно повторному интегрированию по схеме с ограничениями.

LaTeX

$$$\\iint_{X\\times Y} s\\!\\bigl( f(x,y) \\bigr) \\, d\\nu(y) \, d\\mu(x) = \\iint_{x\\in s} f(x,y) \\, d\\nu(y) \\, d\\mu(x)$$$

Lean4

theorem integral_integral_indicator {mY : MeasurableSpace Y} {ν : Measure Y} (f : X → Y → E) {s : Set X}
    (hs : MeasurableSet s) : ∫ x, ∫ y, s.indicator (f · y) x ∂ν ∂μ = ∫ x in s, ∫ y, f x y ∂ν ∂μ := by
  simp_rw [← integral_indicator hs, integral_indicator₂]

Похожие утверждения