setIntegral_mono_on₀ — Mathlib

English

If μ has no atoms, the integral over the left-closed interval [x] and the corresponding half-line left-open interval [−∞, x) coincide under Bochner integration for suitable f.

Русский

Если у μ нет атомов, интеграл по левой границе совпадает с интегралом по соответствующему полувечному лучу слева.

LaTeX

$$$$\\int_{t\\in Iic\\,x} f(t)\\,d\\mu = \\int_{t\\in Iio\\,x} f(t)\\,d\\mu.$$$$

Lean4

@[gcongr high] -- higher priority than `integral_mono`
  -- this lemma is better because it also gives the `x ∈ s` hypothesis

theorem setIntegral_mono_on₀ (hs : NullMeasurableSet s μ) (h : ∀ x ∈ s, f x ≤ g x) :
    ∫ x in s, f x ∂μ ≤ ∫ x in s, g x ∂μ :=
  setIntegral_mono_on_ae₀ hf hg hs (Eventually.of_forall h)

Похожие утверждения