integral_eq_integral_nnrealPart_sub

English

For a simple function f: α → ℝ≥0 with finite integral, there exists an upper semicontinuous g ≤ f such that the lintegral of f is within ε of the lintegral of g.

Русский

Для простой функции f: α → ℝ≥0 с конечным интегралом существует верхняя полусемонтинуированная g ≤ f такая, что линегральный интеграл f близок к интегралу g на ε.

LaTeX

$$$$\\exists g:\\; α \\to ℝ≥0,\\; g ≤ f ∧ UpperSemicontinuous(g) ∧ ∫⁻ x, f x ∂μ ≤ ∫⁻ x, g x ∂μ + ε.$$$$

Lean4

theorem integral_eq_integral_nnrealPart_sub [OpensMeasurableSpace X] (f : X →ᵇ ℝ) :
    ∫ x, f x ∂μ = (∫ x, (f.nnrealPart x : ℝ) ∂μ) - ∫ x, ((-f).nnrealPart x : ℝ) ∂μ :=
  by
  simp only [f.self_eq_nnrealPart_sub_nnrealPart_neg, Pi.sub_apply, integral_sub, integrable_of_nnreal]
  simp only [Function.comp_apply]

Похожие утверждения