isBounded_range_integral — Mathlib

English

For an open-measurable X, composing a bounded continuous function with Ennreal coercion yields a measurable function.

Русский

Для открытого измеримого пространства X композиция ограниченной непрерывной функции с пределением Ennreal измерима.

LaTeX

$$$$\\text{Measurable}(x \\mapsto (f(x) : \\mathbb{R}_{\\ge 0}^{\\infty})).$$$$

Lean4

theorem isBounded_range_integral {ι : Type*} (μs : ι → Measure X) [∀ i, IsProbabilityMeasure (μs i)] (f : X →ᵇ E) :
    Bornology.IsBounded (Set.range (fun i ↦ ∫ x, f x ∂(μs i))) :=
  by
  apply isBounded_iff_forall_norm_le.mpr ⟨‖f‖, fun v hv ↦ ?_⟩
  obtain ⟨i, hi⟩ := hv
  rw [← hi]
  apply f.norm_integral_le_norm (μs i)

Похожие утверждения