integral_hasDerivAt_left — Mathlib

English

Let f be interval-integrable on [a,b], with ca, cb limits along la, lb; then the derivative within a product neighborhood exists and equals k cb − h ca.

Русский

Пусть f интегрируема на [a,b], пределы ca, cb существуют вдоль соответствующих фильтров; производная внутри указывается как kb cb − ha ca.

LaTeX

$$$dF_{(a,b)}(h,k) = k c_b - h c_a.$$$

Lean4

/-- **Fundamental theorem of calculus-1**: if `f : ℝ → E` is integrable on `a..b` and `f` is
continuous at `a`, then `u ↦ ∫ x in u..b, f x` has derivative `-f a` at `a`. -/
theorem integral_hasDerivAt_left (hf : IntervalIntegrable f volume a b) (hmeas : StronglyMeasurableAtFilter f (𝓝 a))
    (ha : ContinuousAt f a) : HasDerivAt (fun u => ∫ x in u..b, f x) (-f a) a :=
  (integral_hasStrictDerivAt_left hf hmeas ha).hasDerivAt

Похожие утверждения