English
Let μ and ν be σ-finite measures with ν σ-finite, and let hμ be that μ is nonzero. For any function f: β → X, the map (a,b) ↦ f(b) is AEStronglyMeasurable with respect to the product measure μ × ν if and only if f is AEStronglyMeasurable with respect to ν. In particular, the measurability in the second component agrees with measurability on the second factor when μ ≠ 0 and ν is σ-finite.
Русский
Пусть μ и ν — сигма-концевые меры, ν сигма-концево; пусть μ ≠ 0. Для любой функции f: β → X верно: функция (a,b) ↦ f(b) является AEStronglyMeasurable относительно произведения мер μ × ν тогда и только что f является AEStronglyMeasurable относительно ν. То есть измеримость по второй координате соответствует измеримости во втором факторе при заданных условиях.
LaTeX
$$$\ AEStronglyMeasurable\left((a,b) \mapsto f(b)\right)\ (\mu \times \nu) \iff \ AEStronglyMeasurable\left(f\right)\nu,$$$
Lean4
theorem comp_snd_iff [SFinite ν] {f : β → X} (hμ : μ ≠ 0) :
AEStronglyMeasurable (f ·.2) (μ.prod ν) ↔ AEStronglyMeasurable f ν :=
⟨(.of_comp_snd · hμ), .comp_snd⟩
