prod_left_ae — Mathlib

English

If a bilinear map op is bounded by a constant C times the product of norms, and f,g are integrable, then the composed function z ↦ op(f(z1), g(z2)) on α×β is integrable with respect to μ×ν.

Русский

Если би-линейная связка op ограничена константой C на произведение норм, и f,g интегрируемые, тогда z ↦ op(f(z1), g(z2)) интегрируема по μ×ν.

LaTeX

$$$\exists C>0\,\forall x,y,\|op(x,y)\| \le C \|x\|\|y\| \quad\Rightarrow\quad \mathrm{Integrable}(z \mapsto op(f(z_1), g(z_2)), μ×ν)$$$

Lean4

theorem prod_left_ae [SFinite μ] ⦃f : α × β → E⦄ (hf : Integrable f (μ.prod ν)) :
    ∀ᵐ y ∂ν, Integrable (fun x => f (x, y)) μ :=
  ((integrable_prod_iff' hf.aestronglyMeasurable).mp hf).1

Похожие утверждения