measure_image_eq_zero_of_comap_eq_zero

English

If f is injective and the image of every measurable set under f is null-measurable, then from comap-zeroness one deduces μ (f''s) = 0 whenever comap f μ s = 0.

Русский

Если f инъективна и образ любого измеримого множества по f является нулем-мезируемым, то нуль меры для comap f μ s влечет нулевую μ-мера на изображение.

LaTeX

$$$\\forall s,\\ comap f\\, \\mu\\, s = 0 \\Rightarrow \\mu (f''s) = 0$$$

Lean4

theorem measure_image_eq_zero_of_comap_eq_zero (f : α → β) (μ : Measure β) (hfi : Injective f)
    (hf : ∀ s, MeasurableSet s → NullMeasurableSet (f '' s) μ) {s : Set α} (hs : comap f μ s = 0) : μ (f '' s) = 0 :=
  le_antisymm ((le_comap_apply f μ hfi hf s).trans hs.le) (zero_le _)

Похожие утверждения