hausdorffMeasure_image — Mathlib

English

If f is an isometry, the Hausdorff measure is preserved up to the conditions on d (d ≤ 0 or surjective).

Русский

Если f является изометрией, мера Хаусдорфа сохраняется при условии on d (d ≤ 0 или сюръекция).

LaTeX

$$$f\text{ is isometry and }(d\ge 0 \Rightarrow \text{?}) \; μ_H^{d}(f(S)) = μ_H^{d}(S)$$$

Lean4

theorem hausdorffMeasure_image (hf : Isometry f) (hd : 0 ≤ d ∨ Surjective f) (s : Set X) : μH[d] (f '' s) = μH[d] s :=
  by
  simp only [hausdorffMeasure, ← OuterMeasure.coe_mkMetric, ← OuterMeasure.comap_apply]
  rw [OuterMeasure.isometry_comap_mkMetric _ hf (hd.imp_left _)]
  exact ENNReal.monotone_rpow_of_nonneg

Похожие утверждения