prod_apply_symm — Mathlib

English

The swap map is measure-preserving between μ × ν and ν × μ: it preserves the measure of all measurable sets.

Русский

Перестановочное отображение сохраняет меру между μ × ν и ν × μ: мера измеримых множеств сохраняется.

LaTeX

$$$\\operatorname{map}(\\mathrm{Prod.swap})(μ \\prod ν) = ν \\prod μ$$$

Lean4

theorem prod_apply_symm {s : Set (α × β)} (hs : MeasurableSet s) : μ.prod ν s = ∫⁻ y, μ ((fun x => (x, y)) ⁻¹' s) ∂ν :=
  by
  rw [← prod_swap, map_apply measurable_swap hs, prod_apply (measurable_swap hs)]
  rfl

Похожие утверждения