withDensity_absolutelyContinuous — Mathlib

English

Let μ be a measure on α and f: α → ℝ≥0∞ be a density. Then the measure μ with density f is absolutely continuous with respect to μ.

Русский

Пусть μ — мера на α и f: α → ℝ≥0∞ — плотность. Тогда мера μ с плотностью f является относительно μ абсолюто сопоставимой (абсолютно непрерывной) по μ.

LaTeX

$$$(\mu\\_f) \\ll \\mu$$$

Lean4

theorem withDensity_absolutelyContinuous {m : MeasurableSpace α} (μ : Measure α) (f : α → ℝ≥0∞) : μ.withDensity f ≪ μ :=
  by
  refine AbsolutelyContinuous.mk fun s hs₁ hs₂ => ?_
  rw [withDensity_apply _ hs₁]
  exact setLIntegral_measure_zero _ _ hs₂

Похожие утверждения