English
Two homological complexes are equal if their underlying graded objects are equal and the horizontal differentials agree compatibly with those identifications, for all i,j with c.Rel i j.
Русский
Два гомологичесих комплекса равны тогда и только тогда, когда ихUnderlying градуированные объекты совпадают и горизонтальные дифференциалы согласованы при равенстве градаций.
LaTeX
$$$C_1 = C_2 \;\text{iff}\\ X_1 = X_2 \text{ and } \forall i,j: c.Rel(i,j)\; C_1.d i j \;\text{and compatibilities hold}$$$
Lean4
@[reassoc (attr := simp)]
theorem d_comp_d (C : HomologicalComplex V c) (i j k : ι) : C.d i j ≫ C.d j k = 0 :=
by
by_cases hij : c.Rel i j
· by_cases hjk : c.Rel j k
· exact C.d_comp_d' i j k hij hjk
· rw [C.shape j k hjk, comp_zero]
· rw [C.shape i j hij, zero_comp]
