models_of_embedding — Mathlib

English

If an embedding f from M into N preserves the L-structure, then any universal theory that holds in N also holds in M.

Русский

Если встроение f сохраняет L-структуру, то любое универсальное теория, выполняемое в N, выполняется и в M.

LaTeX

$$$M \models T \Rightarrow N \models T \Rightarrow (M \text{ embedding } N) \to (N)$$$

Lean4

theorem models_of_embedding {T : L.Theory} [hT : T.IsUniversal] {N : Type*} [L.Structure N] [N ⊨ T] (f : M ↪[L] N) :
    M ⊨ T := by
  simp only [model_iff]
  refine fun φ hφ => (hT.isUniversal_of_mem hφ).realize_embedding f (?_)
  rw [Subsingleton.elim (f ∘ default) default, Subsingleton.elim (f ∘ default) default]
  exact Theory.realize_sentence_of_mem T hφ

Похожие утверждения