English
There is a scalar action of α on cusp forms: c • f is defined by multiplying the underlying slash-invariant form by c and scaling the associated holomorphic/cusp data compatibly.
Русский
Существует действие скаляра α на cusp forms: c • f задаётся умножением базовой slash-инвариантной формы на c и соответствующим образом масштабируется ассоциированная голоморфная/ворота cusp-структура.
LaTeX
$$$\text{There is a well-defined } \alpha\text{-action: } c \cdot f = \{ \text{toSlashInvariantForm} = c \cdot f.1, \text{holo'} = \text{...}, \text{zero_at_cusps'} = ... \}.$$
Lean4
instance instSMul : SMul α (CuspForm Γ k) where
smul c
f :=
{ toSlashInvariantForm := c • f.1
holo' := by simpa using f.holo'.const_smul (c • (1 : ℂ))
zero_at_cusps' hc g
hg :=
by
simp_rw [IsZeroAtImInfty, Filter.ZeroAtFilter, SlashInvariantForm.toFun_eq_coe, SlashInvariantForm.coe_smulℝ,
toSlashInvariantForm_coe, ← smul_one_smul ℂ c ⇑f, smul_slash]
exact (f.zero_at_cusps' hc g hg).smul _ }
