English
Let φ: F → G be a morphism of cochain complexes admitting a homotopy cofibre. If α is a cochain F → K of degree m and β is a cocycle G → K of degree n with m + 1 = n, and the cocycle relation δ_mn α = n·(−1)^{?} (Cochain.ofHom φ) ∘ β holds, then the constructed object descCocycle φ α β h is a cocycle on the mapping cone of φ in degree n.
Русский
Пусть φ: F → G — морфизм когонечных комплексов, допускающий гомотопический когерефер. Если α — когоэффициент F → K степени m, β — кок cycle G → K степени n с условием m + 1 = n, и выполняется кок cycle-отношение δ_mn α = n·(−1)^{?} (Cochain.ofHom φ) ∘ β, то построенный объект descCocycle φ α β h является кокцикл на конусе отображения φ в степени n.
LaTeX
$$$\descCocycle(\phi, \alpha, \beta, h, \text{eq}) \in \operatorname{Cocycle}(\mathrm{mappingCone}(\phi), K, n)$$$
Lean4
/-- Given `φ : F ⟶ G`, this is the cocycle in `Cocycle (mappingCone φ) K n` that is
constructed from `α : Cochain F K m` (with `m + 1 = n`) and `β : Cocycle F K n`,
when a suitable cocycle relation is satisfied. -/
@[simps!]
noncomputable def descCocycle {K : CochainComplex C ℤ} {n m : ℤ} (α : Cochain F K m) (β : Cocycle G K n) (h : m + 1 = n)
(eq : δ m n α = n.negOnePow • (Cochain.ofHom φ).comp β.1 (zero_add n)) : Cocycle (mappingCone φ) K n :=
Cocycle.mk (descCochain φ α β.1 h) (n + 1) rfl (by simp [δ_descCochain _ _ _ _ _ rfl, eq, Int.negOnePow_succ])
