English
There is an equivalence: IsWeakAntichain(insert a s) holds if and only if IsWeakAntichain s holds and a is incomparable with every b in s (i.e., neither a ≺ b nor b ≺ a for all b ∈ s with b ≠ a).
Русский
Существуют равносильности: IsWeakAntichain(insert a s) тогда и только если IsWeakAntichain s выполняется и a несравним с каждым b ∈ s (для всякого b ∈ s с b ≠ a неверны ни a ≺ b, ни b ≺ a).
LaTeX
$$$\mathrm{IsWeakAntichain}(s\cup\{a\}) \iff \mathrm{IsWeakAntichain}(s) \land \forall b\,(b\in s \to a\neq b \to (\neg(a\prec b) \land \neg(b\prec a)))$$$
Lean4
theorem _root_.isWeakAntichain_insert :
IsWeakAntichain (insert a s) ↔ IsWeakAntichain s ∧ ∀ ⦃b⦄, b ∈ s → a ≠ b → ¬a ≺ b ∧ ¬b ≺ a :=
isAntichain_insert
