English
There is a canonical isomorphism between the shifted homology functors, compatible with quotient and composition of functors.
Русский
Существует каноническая изоморфия между сдвинутыми гомологическими функтиями, совместимая с квотированием и композициями функторов.
LaTeX
$$$\\text{shiftIso}_\\mathrm{homology} : (\\mathrm{homologyFunctor} C (\\mathrm{up} \\mathbb{Z}) 0) \\shift n \\cong \\mathrm{homologyFunctor} C (\\mathrm{up} \\mathbb{Z}) n $$$
Lean4
theorem homologyShiftIso_hom_app (n a a' : ℤ) (ha' : n + a = a') (K : CochainComplex C ℤ) :
((homologyFunctor C (ComplexShape.up ℤ) 0).shiftIso n a a' ha').hom.app ((quotient _ _).obj K) =
(homologyFunctor _ _ a).map (((quotient _ _).commShiftIso n).inv.app K) ≫
(homologyFunctorFactors _ _ a).hom.app (K⟦n⟧) ≫
((HomologicalComplex.homologyFunctor _ _ 0).shiftIso n a a' ha').hom.app K ≫
(homologyFunctorFactors _ _ a').inv.app K :=
by apply Functor.ShiftSequence.induced_shiftIso_hom_app_obj
