isZero_quotient_obj_iff — Mathlib

English

For any C in a homological complex, IsZero of its quotient object is equivalent to the existence of a nonempty homotopy from id to 0.

Русский

Для любой единицы C в гомологическом комплексе IsZero в квоте эквивалентно существованию непустого гомотопа от id до 0.

LaTeX

$$$\IsZero((\quotient V c).\mathrm{obj} C) \iff \exists\; H:\mathrm{Homotopy}(\mathrm{id}_C,0)$$$

Lean4

theorem isZero_quotient_obj_iff (C : HomologicalComplex V c) :
    IsZero ((quotient _ _).obj C) ↔ Nonempty (Homotopy (𝟙 C) 0) :=
  by
  rw [IsZero.iff_id_eq_zero]
  constructor
  · intro h
    exact ⟨(homotopyOfEq _ _ (by simp [h]))⟩
  · rintro ⟨h⟩
    simpa using (eq_of_homotopy _ _ h)

Похожие утверждения