sSup_eq_top — Mathlib

English

In a complete linear order, sSup s equals top if and only if for every b < top there exists a ∈ s with b < a.

Русский

В полной линейной ординальной структуре sSup s равно верхушке тогда и только тогда, когда для каждого b < ⊤ существует a ∈ s such that b < a.

LaTeX

$$$\sSup s = \top \;\iff\; \forall b < \top,\; \exists a \in s,\; b < a$$$

Lean4

theorem sSup_eq_top : sSup s = ⊤ ↔ ∀ b < ⊤, ∃ a ∈ s, b < a :=
  ⟨fun h _ hb => lt_sSup_iff.1 <| hb.trans_eq h.symm, fun h =>
    top_unique <|
      le_of_not_gt fun h' =>
        let ⟨_, ha, h⟩ := h _ h'
        (h.trans_le <| le_sSup ha).false⟩

Похожие утверждения