English
Let f: α → ℕ be a function and r ∈ R with r > 0 in an Archimedean ordered ring R. If f tends to atTop along l, then the function x ↦ f(x) · r tends to atTop along l.
Русский
Пусть f: α → ℕ и элемент r ∈ R удовлетворяют r > 0 в упорядоченной кольцевой системе R, обладающей Архимедовым свойством. Если f стремится к бесконечности вдоль фильтра l, то x ↦ f(x) · r также стремится к бесконечности вдоль l.
LaTeX
$$$0 < r \\Rightarrow \\mathrm{Tendsto}\, f\, l\, \\mathrm{atTop} \\Rightarrow \\mathrm{Tendsto}\\, (\\lambda x. f(x) \\cdot r)\\, l\\, \\mathrm{atTop}$$$
Lean4
theorem atBot_hasCountableBasis_of_archimedean [Ring R] [PartialOrder R] [IsOrderedRing R] [Archimedean R] :
(atBot : Filter R).HasCountableBasis (fun _ : ℤ => True) fun m => Iic m
where
countable := to_countable _
toHasBasis :=
atBot_basis.to_hasBasis
(fun x _ =>
let ⟨m, hm⟩ := exists_int_le x;
⟨m, trivial, Iic_subset_Iic.2 hm⟩)
fun m _ => ⟨m, trivial, Subset.rfl⟩
