map_atBot_eq_of_gc_preorder — Mathlib

English

Under preorders with directedness by ≤, and a left adjoint g together with gc and hgi, map f on atTop equals atTop.

Русский

При предпорядках с направленностью по ≤ и функциональной связке с гало-связью и дополнительными условиями, отображение f на atTop равно atTop.

LaTeX

$$$\text{Пусть } (α, ≤) , (β, ≤) направлены;\ g:\beta\to\alpha, bf, gc, hgi\text{ удовлетворяют условиям; }\ \mathrm{map}\ f\ atTop = atTop$$$

Lean4

theorem map_atBot_eq_of_gc_preorder [Preorder α] [IsDirected α (· ≥ ·)] [Preorder β] [IsDirected β (· ≥ ·)] {f : α → β}
    (hf : Monotone f) (b : β) (hgi : ∀ c ≤ b, ∃ x, f x = c ∧ ∀ a, c ≤ f a ↔ x ≤ a) : map f atBot = atBot :=
  map_atTop_eq_of_gc_preorder (α := αᵒᵈ) (β := βᵒᵈ) hf.dual _ hgi

Похожие утверждения