English
Let α and β be types. The natural embedding of finite subsets of α into the left component of a disjoint sum with β, via taking the left inclusion, is cofinal with respect to inclusion. Consequently, as finite subsets grow, their left-disjoint-sum images exhaust the relevant larger finite subsets, so the map tends to the top filter.
Русский
Пусть α и β — множества. Естественное отображение конечных подмножеств α в левую часть распределения через дизьюдноe объединение с β является когерентным по отношению к включению. Следовательно, по мере роста конечных подмножеств их образы в левой части распадного сумма-моля достигают верха фильтра.
LaTeX
$$$\\text{Tendsto}\\big(\\mathrm{FinsettoLeft}_{\\alpha,\\beta}\\big)_{\\mathrm{atTop}}^{\\mathrm{atTop}}$$$
Lean4
theorem tendsto_toLeft_atTop : Tendsto (Finset.toLeft (α := α) (β := β)) atTop atTop :=
by
intro s hs
simp only [mem_atTop_sets, Filter.mem_map, Set.mem_preimage] at hs ⊢
obtain ⟨t, H⟩ := hs
exact ⟨t.disjSum ∅, fun b hb ↦ H _ (by simpa [← Finset.coe_subset, Set.subset_def] using hb)⟩
