English
Let C be a preadditive category with a faithful forgetful functor to Ab that preserves homology. For any morphism f : X → Y in C, f is an epimorphism if and only if the underlying function between the associated abelian groups is surjective.
Русский
Пусть C — преддобавленная категория с денормализацией через forgetful-функтор к абеловым группам, сохраняющий гомологии. Для произвольной стрелки f : X → Y в C, f является эпиморфизмом тогда и только тогда, когда соответствующая функция между абелевыми группами проста подана сюръективна.
LaTeX
$$$\\operatorname{Epi}(f) \\iff \\operatorname{Surjective}(f)$$$
Lean4
theorem epi_iff_surjective' {X Y : C} (f : X ⟶ Y) : Epi f ↔ Function.Surjective f :=
by
simp only [epi_iff_surjective, ← CategoryTheory.epi_iff_surjective]
apply (MorphismProperty.epimorphisms (Type w)).arrow_mk_iso_iff
have e : forget₂ C Ab ⋙ forget Ab ≅ forget C := eqToIso (HasForget₂.forget_comp)
exact Arrow.isoOfNatIso e (Arrow.mk f)
