exact_iff_kernel_ι_comp_cokernel_π_zero

English

Assume S has a left/right homology and has kernels and cokernels for g and f respectively. Then S is exact if and only if kernel.ι S.g ≫ cokernel.π S.f = 0.

Русский

Пусть у S есть левая и правая гомологии и существуют ядро для g и кокатernel для f. Тогда S точен тогда, когда композиция kernel.ι g с cokernel.π f равна нулю.

LaTeX

$$$ \\ker \\iota_{S.g} \\circ \\cokernel \\pi_{S.f} = 0 $$$

Lean4

theorem exact_iff_kernel_ι_comp_cokernel_π_zero [S.HasHomology] [HasKernel S.g] [HasCokernel S.f] :
    S.Exact ↔ kernel.ι S.g ≫ cokernel.π S.f = 0 :=
  by
  haveI := HasLeftHomology.hasCokernel S
  haveI := HasRightHomology.hasKernel S
  exact
    S.exact_iff_i_p_zero (LeftHomologyData.ofHasKernelOfHasCokernel S) (RightHomologyData.ofHasCokernelOfHasKernel S)

Похожие утверждения