English
Let (f_i) be a family of filters on sets α_i indexed by i. The product filter on the product space ∏_i α_i is defined as the infimum of the pullbacks along the projection maps; equivalently, a set S is in the product filter iff for every i there exists A_i ∈ f_i with ∏_i A_i ⊆ S. In particular, the basic boxes A_1 × A_2 × ... with A_i ∈ f_i generate the product filter.
Русский
Пусть (f_i) — семейство фильтров на множества α_i, индексируемое i. Произведение фильтров на произведение пространств ∏_i α_i определяется как наименьшее верхнее ограничение над всеми обратными изображениями по проекциям; эквивалентно, множество S принадлежит произведению фильтров тогда, когда для каждого i существует A_i ∈ f_i such that ∏_i A_i ⊆ S. В частности, базисом являются боксы ∏_i A_i, где A_i ∈ f_i.
LaTeX
$$$\pi f \,=\, \bigwedge_{i\in I} \operatorname{comap}(\mathrm{ev}_i)(f_i),$$$
Lean4
/-- The product of an indexed family of filters. -/
def pi {ι : Type*} {α : ι → Type*} (f : ∀ i, Filter (α i)) : Filter (∀ i, α i) :=
⨅ i, comap (Function.eval i) (f i)
