English
If f and g are minimal with respect to l at a, then their maximum of two becomes a maximal filter at a under dual order.
Русский
Если f и g минимальны относительно l в a, то их максимум является максимальным фильтром в a в двойственном порядке.
LaTeX
$$$\\mathrm{IsMinFilter}(f,l,a) \\land \\mathrm{IsMinFilter}(g,l,a) \\Rightarrow \\mathrm{IsMinFilter}(\\lambda x. \\max\\{f(x),g(x)\\}, l, a)$$$
Lean4
theorem max (hf : IsMaxFilter f l a) (hg : IsMaxFilter g l a) : IsMaxFilter (fun x => max (f x) (g x)) l a :=
show IsMaxFilter (fun x => Max.max (f x) (g x)) l a from
hf.bicomp_mono (fun _x _x' hx _y _y' hy => max_le_max hx hy) hg
