preservesEpimorphisms_of_preserves_shortExact_right

English

Equivalence of several statements: left-exactness preservation, exactness + epi preservation, kernels, and finite colimits preservation.

Русский

Эквивалентность нескольких утверждений: сохранение левых точных последовательностей, точность + сохранение эпиморфизмов, ядра и сохранение конечных колимитов.

LaTeX

$$Lista de equivalencias: preserve left-exact, preserve kernels, preserve finite limits/colimits.$$

Lean4

/-- If a functor `F : C ⥤ D` preserves exact sequences on the right-hand side (i.e.
if `0 ⟶ A ⟶ B ⟶ C ⟶ 0` is exact then `F(A) ⟶ F(B) ⟶ F(C) ⟶ 0` is exact),
then it preserves epimorphisms.
-/
theorem preservesEpimorphisms_of_preserves_shortExact_right
    (h : ∀ (S : ShortComplex C), S.ShortExact → (S.map F).Exact ∧ Epi (F.map S.g)) : F.PreservesEpimorphisms where
  preserves f := h _ { exact := exact_kernel f } |>.2

Похожие утверждения