English
Let α be a preorder and β a semilattice with join. If f and g are antitone on a set s ⊆ α, then their pointwise supremum h(x) = max{f(x), g(x)} is antitone on s.
Русский
Пусть α — предобразный множество, β — полусупληум с операцией ⊔. Если f, g антимонотонны на подмножестве s ⊆ α, то их покомпонентный максимум h(x) = max{f(x), g(x)} антимонотонен на s.
LaTeX
$$$\forall x,y\in s:\ x\le y\Rightarrow \max\{f(x),g(x)\}\ge \max\{f(y),g(y)\}$$$
Lean4
/-- Pointwise supremum of two antitone functions is an antitone function. -/
protected theorem sup [Preorder α] [SemilatticeSup β] {f g : α → β} {s : Set α} (hf : AntitoneOn f s)
(hg : AntitoneOn g s) : AntitoneOn (f ⊔ g) s := fun _ hx _ hy h => sup_le_sup (hf hx hy h) (hg hx hy h)
