English
Let α be a preorder, β a semilattice with infimum. If a function f satisfies f(x ⊔ y) = f(x) ⊓ f(y) for all x,y ∈ s, then f is antitone on s.
Русский
Пусть α — предобразное множество, β — полусупируемое с операцией ⊓. Если f(x ⊔ y) = f(x) ⊓ f(y) для всех x,y ∈ s, то f антимонотонна на s.
LaTeX
$$[(∀ x ∈ s)(∀ y ∈ s) f(x ⊔ y) = f(x) ⊓ f(y)] ⇒ AntitoneOn f s$$
Lean4
theorem map_sup [SemilatticeInf β] (hf : AntitoneOn f s) (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s) : f (x ⊔ y) = f x ⊓ f y := by
cases le_total x y <;> have := hf ?_ ?_ ‹_› <;>
first
| assumption
| simp only [*, sup_of_le_left, sup_of_le_right, inf_of_le_left, inf_of_le_right]
