lintegral_eq_measure_univ — Mathlib

English

If g is quasi-measure-preserving and the pushforward of X under g has Lebesgue decomposition with respect to ν, then (g ∘ X) has a HasPDF with respect to ν.

Русский

Если g квази-измеримо-представляющее отображение и (map g (map X ℙ)) имеет разложение по Лебегу относительно ν, тогда (g ∘ X) имеет HasPDF относительно ν.

LaTeX

$$$(hg : QuasiMeasurePreserving g μ ν) \\land hmap : (map g (map X ℙ)).HaveLebesgueDecomposition ν \\Rightarrow HasPDF (g ∘ X) ℙ ν$$$

Lean4

theorem lintegral_eq_measure_univ {X : Ω → E} [HasPDF X ℙ μ] : ∫⁻ x, pdf X ℙ μ x ∂μ = ℙ Set.univ := by
  rw [← setLIntegral_univ, ← map_eq_setLIntegral_pdf X ℙ μ MeasurableSet.univ,
    map_apply_of_aemeasurable (HasPDF.aemeasurable X ℙ μ) MeasurableSet.univ, Set.preimage_univ]

Похожие утверждения