smul_nonneg — Mathlib

English

If the integral over sets increases with i, then the process forms a Submartingale.

Русский

Если интегралы по множествам возрастают при i, то процесс образует субмартингал.

LaTeX

$$$\forall i\le j, \int_s f_i \le \int_s f_j \ \, (\text{for all Measurable } s) \Rightarrow \mathrm{Submartingale}(f,\mathcal{F},\mu)$$$

Lean4

theorem smul_nonneg {f : ι → Ω → F} {c : ℝ} (hc : 0 ≤ c) (hf : Supermartingale f ℱ μ) : Supermartingale (c • f) ℱ μ :=
  by
  refine ⟨hf.1.smul c, fun i j hij => ?_, fun i => (hf.2.2 i).smul c⟩
  filter_upwards [condExp_smul c (f j) (ℱ i), hf.2.1 i j hij] with ω hω hle
  simpa only [hω, Pi.smul_apply] using smul_le_smul_of_nonneg_left hle hc

Похожие утверждения