English
A LieModuleEquiv e: M ≃ₗ⁅R,L⁆ N induces a LieModuleEquiv between the maximal trivial submodules of M and N, mapping each trivial vector to its image under e.
Русский
Ли-эквивалент e: M ≃ N индуцирует эквивацию максимальных тривиальных подмодулей между M и N, переводя тривиальные элементы на их образ через e.
LaTeX
$$$\\maxTrivSubmodule R L M \\simeq_{\\text{Lie}} \\maxTrivSubmodule R L N$ via $e$.$$
Lean4
theorem le_max_triv_iff_bracket_eq_bot {N : LieSubmodule R L M} :
N ≤ maxTrivSubmodule R L M ↔ ⁅(⊤ : LieIdeal R L), N⁆ = ⊥ :=
by
refine ⟨fun h => ?_, fun h m hm => ?_⟩
· rw [← le_bot_iff, ← ideal_oper_maxTrivSubmodule_eq_bot R L M ⊤]
exact LieSubmodule.mono_lie_right ⊤ h
· rw [mem_maxTrivSubmodule]
rw [LieSubmodule.lie_eq_bot_iff] at h
exact fun x => h x (LieSubmodule.mem_top x) m hm
